科普门槛：具有高中及以上的数学基础。
今天我们说一个函数的小性质，它一般不太被提及，尤其是在工科的《高等数学》和《线性代数》中，正常来讲，它只有在近世代数中的群同构被介绍时才会以“商群”的形式出现，然而，那时它已经被赋予“群”这个比较复杂的结构了。现在我们只看映射——就是一般的映射，我们直接从映射和划分的角度来描述它。
- 等价关系与划分
在我们之前的文章分中不只一次地提及、用到甚至简短地介绍过划分和等价类。你别看它们挺简单，但说实话，高中乃至工科大学都不会学它！这是为啥？因为没有用，更准确地说，它是基础层面的概念，不能快速地像微积分和代数方程那样直接投入到某些应用当中。对于高级的数学来说，划分是一个集合上的概念，它的意义不算大，除非我们证明了“核心定理”——划分与等价关系是一一对应的——之后，划分才会以“等价关系的集合表示”出现在数学中。
至于等价关系，它的重要性应该不用再说了吧，双射映射是等价关系、三角形的全等性质是等级关系、矩阵的共轭【相似】关系是等价关系、拓扑空间的映射的同伦关系是等价关系......强大的等价关系对于现代数学来说就是“分类”的象征，但凡在某种等价关系下“等价的对象”，都被视作“同一类”。
在集合论的眼中，“关系”是一个数学概念，但不是抽象的，换句话说，即使是抽象的，那也能用集合来具体表示。
我们只说两个元素的关系，即二元关系，集合论说这东西就是两个集合的笛卡尔积的子集！即 R?A×B ，R是关系这个单词的英文首字母。如果只是在一个集合A的内部考虑“关系”，那么其实就是 R?A×A 。
实数上的“序关系”，整数上的“整除关系”都是上面这个关系的具体化。你发现没有，即使在《高等数学》中，我们对于实数似乎只强调序关系和加、乘法则的融合，而不重点讲序关系的由来和意义，似乎排序对于实数的构成没有什么意义！其实，实数的完备性是序关系下的完备，有理数的稠密性也序关系下的稠密性，这些都本质地建立在“序”这个关系上。研究各种序关系的分支是所谓的“离散数学”，它重点涉及逻辑、图论、排列组合以及树的概念，排序以及序关系的具体应用都是该领域的明线或者暗线。
对于我们的主题来说，我们只涉及等价关系，它有自己的公理体系，我们 用aRb 表示a、b两个元素满足等价关系R，下面是它的公理组：
1.自反性： aRa【集合表示：(a,a)∈R】
2.对称性：aRb→bRa【集合表示：(a,b)∈R→(b,a)∈R】
3.传递性：若aRb，bRc，则aRc【集合表示：(a,b)∈R且(b,c)∈R→(a,c)∈R】
现在按我们前面说的，既然等价关系也是“关系”，那么它应该也是某种集合的笛卡尔积的子集！比如说令A={1,2,3}，那么A×A是一个笛卡尔积，我们取它的某个子集，比如说K={(1,1),(2,2)}，然后我们问，这是A上的一个等价关系吗？
A中有元素3，但是显然序对(3,3)?K，因此，自反性对3不成立，所以K不是等价关系。现在我们以一种“感性”的方式来重新考虑等价关系，我们问，子集族{{1},{2,3}}是A上的等价关系吗？【集族是以集合为元素的集合】
答案为“是”。用子集的族来描述等价关系显然更直观，但是它不是笛卡尔积的那种表示，因此要套用公理来验证其等价性就比较麻烦，我们需要建立一种集族与等价关系的联系：我们“约定”，对于一个集族来说，属于同一集合【该集族的元素】的那些元素是相互等价的。对于集族{{1},{2,3}}来说，1与自己等价，而2与3相互等价。
这种人为的“分类”在上面我们给出的“约定”的意义下是等价关系！这种“分类”就是数学上的“划分”。我们称集族{{1},{2,3}}为集合A={1,2,3}的一个划分。它满足以下两条：
1.{1}∪{2,3}=A【划分的元素，其并集要等于被划分的集合A】
2.{1}∩{2,3}=?【划分的元素之间无交】
现在我们接着问，集族{{1,3},{2}}是等价关系吗？答案为：是！那集族{{1,2,3}}是吗，答案为：是！即便是{{1},{2},{3}}也是等价关系，因为它们都符合划分的定义。
你或许有疑问，这是不是太随便了，哪个元素和哪个元素为等价的不应该由等价关系来判定吗？你这好像是随意就放到一起了，总不能你说等价就等价吧？
确实是你说等价就等价！因为我们有如下等价关系与划分的核心定理：
每个划分都与每个等价关系一一对应。
这就意味一件事，划分就是等价关系！只不过我们是用集族【划分】来表示等价关系，而不是用语言或者公式来表示。对于任意非空集合A，只要你对它的分类是我们上面说的满足那两个条件的“划分”，那么该划分就是集合A的等价关系。
唯一你可能不太接受的就是这种“师出无名”的等价关系的存在，我们只能说，不好意思，不是每个等价关系都有确定的表达式。比如{e,S,丨R丨}，其中S是一个矩阵，第三个是连续统的基数，这东西就没法用一个明确的公式或者关系来划分它们。
- 函数关于等价关系的性质
既然不是每个等价关系都那么“明显”，而划分又是一种“明显”可表示等级关系的方式，因此它是如此重要，以至于我们要给它单独另起一个在主流数学流行的名字：商集！与某个元素等价的那些元素形成的集合是商集的元素，叫等价类。对于某个集合A，在某个等价关系～下的划分就是A的某个商集，记号A/～。
除号“/”就是它名字中“商”的由来。
我们对比着看6/2=3，这意味我们用2【把它看成等价关系】来划分6，使得对于集合“6”来说，商集“6/2”是它的一个划分，划分后它有3个等价类，每个等价类有2个元素【至于具体谁和谁一组，那就随意了】。
现在来看函数f，我们太熟悉它了，这里就不赘述它的概念了。我们重点就是利用它的定义：对于每个自变量，有唯一的因变量与之对应。换句话说，f的像【值域】——im(f)——完全对定义域进行了划分，因为像中的每个元素都对应那些通过f映射到它身上的定义域中的那些元素。对于一般的函数来说，可能是好几个自变量对应同一个因变量。也就是说，我们有当x≠y时，f(x)=f(y)。
不要小瞧这个过于平凡的东西，现在用它来定义我们的等级关系～：
?x,y∈X，x～y?f(x)=f(y)
它是说，定义域X中的两个元素是等价的，当且仅当它们在映射f下的像是一样的。
当然，这是我们用关系式定义的等价关系，必须证明它满足等价关系的公理，这太简单了，我们就不写了。我们给这个等价关系起个名字：等价核，记号Ker(f)。
【注意，如果你学过群论，那么这里的核与群同态的核不是一个定义，因为这一般的映射，像集里没有所谓的运算的幺元】
因此由等价核形成的对于函数f的定义域X的商集就是X/Ker(f)。还记得形成商集【也就是划分】的形成条件1吗？商集的元素——等价类——的并是要等于被划分集合X的，因此我们有如下满射：
h：X→X/Ker(f)。
它是一个经典的、自然的满射【满射就是h(X)=X/Ker(f)，即它的像集=目标域】，因为对于f的定义域中的任何元素x，它一定是某个等价类的元素，这是形成商集的条件1保证的。
现在我们来叙述核心定理：
对于任意的映射f：X→Y，它一定可以被分解为映射h与另一个映射g的复合 g°h ，h就是前面的自然满射，而g是X/Ker(f)→f(x)。
映射g似乎不太好理解，它其实是把商集X/Ker(f)中的等价类[a]映射为f的某个像f(a)，写的细一点就是g([a])=f(a)，其中 a∈[a]∈X/Ker(f)。
我们看个例子吧。
设f：Z→Z，f(n)=n2。我们定义等价关系 n～m?n2=m2 ，那么显然这个等价关系就是f的等价核Ker(f)。n所在的等价类是[n]={n，-n}，也就是一对相反数，它们的平方是相同的。当n取遍所有整数时，我们就完成了对Z的划分，因此它被该等价关系“分类”后形成的商集就是Z/Ker(f)={{n,?n}丨n∈Z}。
而按我们的分解定理， f=g°h ，其中
h：Z→Z/Ker(f)，n→{n，-n}，
g：Z/Ker(f)→f(Z)， {n,?n}→n2，见下图。
总结：等价类对于数学来说一般不是直接冲锋陷阵的主儿，它是幕后的英雄，除了被明显地用来“从自然数构造到有理数”之外，只有在一些涉及商集的概念中才会把它搬到前台。在商集的基础上，我们还有商群、商环等“商结构”，它们是数学非常重要的结构之一，商结构是把等价类与代数运行进行结合的产物。商集对于一般映射的分解只是开胃小菜，它真正有意义的用处，是在群论中，那时我们有所谓的“群同构第一定理”，那个定理从一个侧面完美地展现了商群结构在同态映射下的性质。