线性代数（高等代数）教学日记 ：张量积
上次说对偶空间已经让我这个端数学饭碗的人，惊掉下巴，今天开始讲的张量积（Tensor product），只能用美妙绝伦来形容了。
张量积是真正的乘法。
那，究竟什么是乘法呢？二三得六这种乘法对几何体可以吗？比如线段乘圆周是什么东东？
这件事情很早就有人研究了，但最著名的当属大神笛卡尔（“我思故我在”就是他说的）。
本来，实数轴是一根直线，所以上面没什么有意思的几何，比如无法在实数轴上讨论圆、抛物线、双曲线之类。1619年，23岁的笛卡尔在波西米亚（今捷克）想出了一个妙计：把两个数轴乘起来！这就是平面直角坐标系。这种乘法现在就叫“笛卡尔积”。
举一个例子，平面上的正方形{（x, y）|0 换句话说，两个线段的乘积就是在其中一条线段的每一个点上都放上另一条线段。笛卡尔积就这么简单。现在请朋友们算一下线段乘圆周是什么？ 这当然要到空间直角坐标系里了，不妨取线段为z-轴上的单位区间I=[0, 1]，圆周就取xoy-平面上的单位圆S。这样，IXS就是在S的每一个点上都放上一条线段I，所以线段乘圆周=圆柱面！ 让我们继续开动大脑，算一下圆周乘圆周是什么？这里妙趣横生，朋友们先想想，答案可以留在评论区。 上面的乘法已经足够有趣了，但仔细一算，这个乘法的本质是加法，比如从维数的角度来看：一维的线段乘一维的线段是二维的矩形，一维的线段乘一维的圆周是二维的圆柱面。能否有办法让维数变成乘法？这正是张量积的考虑。 朋友们想一下，如果想把平面和空间乘起来，我们应该怎么做？下周下课后咱们继续来讨论。