吃透这些知识点和题型，初中数学《变量与函数》考点一分都不会丢

考点1、变量与常量

【知识梳理】在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量.

【方法点拨】抓住题目中的关键词，一般遇到”一定“、”定长“、”定值“等关键词，那么往往那个量就是常量，其余剩下的量是变量.

【重点聚焦】变量与常量往往是相对的，在不同的研究过程中，变量与常量是可以相互转化的，并不是一成不变的，比如行程问题中，当速度保持不变的时候，路程是随着时间的变化而变化的，在这个过程中速度是常量，时间和路程是变量，但如果路程是定值，速度是随着时间而变化，那么路程是常量，速度和时间是变量.

【分析】【考点提示】

本题考查函数的相关知识，掌握常量和变量的概念是解题的关键；

【解题方法提示】

在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此你有思路了吗？

【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．

【点评】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．

例3、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（　　）

①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据常量和变量的定义解答即可．

【解答】解：∵汽车匀速行驶在高速公路上，速度是常量，随着时间的变化，行驶时间，行驶路程，剩余油量随之变化，

∴②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量是变量．

故选：C．

【点评】本题考查了常量和变量，熟记常量和变量的定义是解题的关键．

考点2、函数概念与识别

【知识梳理】函数概念：在某个变化过程中，有两个变量，设为x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说y是x的函数关系，其中x是自变量，y是因变量.

【方法点拨】根据函数的定义可以知道，必须同时满足两个条件，要有两个变量，并且一个变量随着另外一个变量变化而变化。即有一个x的值就只有一个y的值，不能出现两个以上，具有唯一性.只要抓住这两个条件，就可以快速判断是否是函数.

【重点聚焦】判断变量之间是否是函数关系，只需要注意变量是否满足两个特征：

①必须两个变量，且一个变量随着另外一个变量的值变化而变化

②给定一个自变量的值，可以确定一个因变量的值（即因变量唯一）

两者缺一不可，只有同时满足两个条件才能构成函数.

【分析】根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．

【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此解答即可．

【解答】解：（1）高线长h的等腰三角形的底边长a与面积S．（√）；

（2）关系式y＝±x中的y与x．（×）．

（3）下表中的v与s．（√）．

（4）关系式y＝x2中的y与x．（√）

故答案为：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√．

【分析】根据函数的定义，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出即可．

【解答】解：只有选项C中，x取1个值，y有2个值与其对应，

故y不是x的函数．

【点评】此题主要考查了函数的定义，正确掌握函数定义是解题关键．

本题是一道关于函数的定义的题目，熟练掌握函数的定义以及自变量和因变量的确定是解答本题的关键；

【解题方法提示】

根据函数的定义，给定x一个值，y都应有唯一的值与之对应，可试着让每个图形中的x都取0，你能确定每个图形中对应的y有几个值吗？

【解答】 解：由函数的定义可知，①、②均可表示y是x的函数，③、④中，对于同一个x，y值不确定，例如，当x＝0时，有两个y值与其对应，所以表示y是x的函数的有2个.

故选B.

【点评】本题侧重考查知识点的记忆能力。

学生在日常学习中应从以下1个方向（【数学抽象】）培养对知识点的记忆能力。

考点3、自变量的取值范围

【知识梳理】函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数自变量的取值范围.

【方法点拨】所谓的自变量的范围，即就是满足代数式有意义的条件，针对整式，自变量取任意实数；针对分式的代数式只要保证分母不为零；针对偶次根式，保证被开方数≥0；针对0指数幂，确保底数不等于0。针对一个代数式中出现多个代数式，只需要保证每一个式子都有意义，然后解一个不等式组，求出这个不等式组的公共部分（解集）即可.

【重点聚焦】对于自变量的取值范围的理解应该注意以下几点：

①当自变量出现在整式中，自变量的取值范围为全体实数

②当自变量出现在分式中，自变量的取值范围是使分母不为零的实数

③当自变量出现在偶次方根式中，自变量的取值范围是使被开方数为非负的实数.

【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．

考点4、函数值

【知识梳理】当自变量取某一数值时，相对应的因变量的值叫做函数值.

【方法点拨】已知自变量x的值求函数值，可结合我们以前学过的求代数式的值的方法求解，只需要把x的具体值代入代数式中即可。如果题目中没有出现具体的数值，但是需要求出代数式中的值，我们就需要先观察一下这个代数式，优先保证代数式中的每一个部分都有意义，并求出代数式的范围，根据范围确定出具体的自变量x的数值，然后可结合我们以前学过的求代数式的值的方法求解，只需要把x的具体值代入代数式中即可.

【重点聚焦】对于求函数值的理解应该注意以下几点：

①当已知具体的函数值，只需要把x的具体值代入代数式中求出函数值即可，但是如果代数式比较复杂，我们可以先进行简单的化简然后再代入，简化计算量

②当未知具体的函数值，可以先求出自变量的范围，然后根据自变量的具体范围确定出自变量x的具体数值，然后把x的具体值代入代数式中求出函数值即可.

【点评】本题比较简单，考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式．

【点评】本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题关键．

考点5、函数关系式

【知识梳理】确定函数关系式，一般与列方程解应用题类似，首先根据题意列出关于两个变量的方程，然后再用含有自变量的式子表示函数，最后写出自变量的取值范围.

【方法点拨】列出函数关系式，只需要找到题目中的等量关系列出式子即可，然后用含有自变量的式子去表示函数，同时注意实际问题中自变量x的取值范围.

【重点聚焦】（1）针对实际问题列出函数关系时，一定要注意自变量的取值范围，不能忽略掉其范围

（2）书写函数关系式是有顺序的，往往自变量和常量在等号的右边，因变量在等号的左边

（3）函数关系式是一个等式，如y=3x+1.

考点6、函数关系式-规律探究

【知识梳理】针对确定函数关系式的规律探究，一般与列函数关系式以及找规律类似 ，通过观察、猜想、归纳、验证得到一种函数关系式.

【方法点拨】（1）首先观察图形

（2）然后猜想、尝试列出等式

（3）最后加以归纳，找一些特殊数值加以验证等式，写出标准的函数关系式.

【重点聚焦】（1）一般规律探究型，题型变化多端，需要通过观察进行归纳，当给出的数据相对比较少的时候，可以自己多写一些数，也可以自己多画一些图形，加以比较分析，方便我们找到规律

（2）函数关系式规律探究基本步骤：①观察（计算）；②猜想、归纳；③证明验证

（3）解题的一般思路从特殊情形分析，发现一般规律，用这个规律来解决问题.

【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类以及数字的变化类，解题的关键是找出变换规律“右下的数字＝右上数字×（左下数字+1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图形中数字的变化找出变化规律是关键．

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