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Haskell 中的 Monad

yuyutoo 2024-12-01 06:09 7 浏览 0 评论

（临近五一，发文庆祝）


（以下与本文无关，纯属凑数 “伍佰” 原创）

《微分》

————

微分的统一模板：

df(x,Δx)＝A(x)Δx

● 当 f(x):?→? 是函数时

x, Δx 是标量，

A(x)＝f'(x) 就是导数，其中 f'(x)＝lim???? (f(x＋t)－f(x))/t ；

对于恒等函数 x(x)＝x，导数是 x'(x)＝1，于是微分为，

dx(x,Δx)＝1Δx＝Δx

即，

dx＝Δx

于是 微分可以 特化为，

df(x)＝f'(x)dx

● 当 f(x):??→? 是多元函数时

x＝(x?, ..., x?)，Δx＝(Δx?, ..., Δx?)? 是向量，

A(x)＝▽f(x)＝(?f(x)/?x1, ..., ?f(x)/?x?) 就是梯度 ，其中 ?f(x)/?x?＝lim???? (f(x＋te?)－f(x))/t，e?＝(0, ..., 1???, ..., 0) ；

对于 坐标分量 函数 x?(x)＝x?，梯度是 ▽x?(x)＝e? 于是 微分为，

dx?(x,Δx)＝e?Δx＝Δx?

即，

dx?＝Δx?

于是令，

dx＝(dx?, ..., dx?)?＝(Δx?, ..., Δx?)?＝Δx

则 微分 可特化为，

df(x)＝▽f(x)dx＝∑????(?f(x)/?x?)dx?

● 当 f(x)＝(f1(x), ..., f?(x)):??→?? 是向量函数时

x＝(x?, ..., x?) Δx＝(Δx?, ..., Δx?)? 是向量，

A(x)＝Jf(x)

┌?f1(x)/?x1, ..., ?f1(x)/?x?┐

│ ... ... ... ... │

└?f?(x)/?x1, ..., ?f?(x)/?x?┘

就是雅可比矩阵；

与多元函数类似，微分 可特化为，

df(x)＝Jf(x)dx＝(∑????(?f1(x)/?x?)dx?, ... ,∑????(?f?(x)/?x?)dx?)?

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