从基本原理到梯度下降算法:零基础也能看懂的神经网络教程

晓查 发自 凹非寺

量子位 报道 | 公众号 QbitAI

“我在网上看到过很多神经网络的实现方法，但这一篇是最简单、最清晰的。”

一位来自普林斯顿的华人小哥Victor Zhou，写了篇神经网络入门教程，在线代码网站Repl.it联合创始人Amjad Masad看完以后，给予如是评价。

这篇教程发布仅天时间，就在Hacker News论坛上收获了574赞。程序员们纷纷夸赞这篇文章的代码写得很好，变量名很规范，让人一目了然。

下面就让我们一起从零开始学习神经网络吧。

实现方法

搭建基本模块——神经元

在说神经网络之前，我们讨论一下神经元（Neurons），它是神经网络的基本单元。神经元先获得输入，然后执行某些数学运算后，再产生一个输出。比如一个2输入神经元的例子：

在这个神经元中，输入总共经历了3步数学运算，

先将两个输入乘以权重（weight）：

x₁→x₁ × w₁

x₂→x₂ × w₂

把两个结果想加，再加上一个偏置（bias）：

（x₁ × w₁）+（x₂ × w₂）+ b

最后将它们经过激活函数（activation function）处理得到输出：

y = f(x₁ × w₁ + x₂ × w₂ + b)

激活函数的作用是将无限制的输入转换为可预测形式的输出。一种常用的激活函数是sigmoid函数：

sigmoid函数的输出介于0和1，我们可以理解为它把 (?∞,+∞) 范围内的数压缩到 (0, 1)以内。正值越大输出越接近1，负向数值越大输出越接近0。

举个例子，上面神经元里的权重和偏置取如下数值：

w=[0,1]

b = 4

w=[0,1]是w₁=0、w₂=1的向量形式写法。给神经元一个输入x=[2,3]，可以用向量点积的形式把神经元的输出计算出来：

w·x+b =（x₁ × w₁）+（x₂ × w₂）+ b = 0×2+1×3+4=7

y=f(w?X+b)=f(7)=0.999

以上步骤的Python代码是：

import numpy as np
def sigmoid(x):
 # Our activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
 return 1 / (1 + np.exp(-x))
class Neuron:
 def __init__(self, weights, bias):
 self.weights = weights
 self.bias = bias
 def feedforward(self, inputs):
 # Weight inputs, add bias, then use the activation function
 total = np.dot(self.weights, inputs) + self.bias
 return sigmoid(total)
weights = np.array([0, 1]) # w1 = 0, w2 = 1
bias = 4 # b = 4
n = Neuron(weights, bias)
x = np.array([2, 3]) # x1 = 2, x2 = 3
print(n.feedforward(x)) # 0.9990889488055994

我们在代码中调用了一个强大的Python数学函数库NumPy。

搭建神经网络

神经网络就是把一堆神经元连接在一起，下面是一个神经网络的简单举例：

这个网络有2个输入、一个包含2个神经元的隐藏层（h₁和h₂）、包含1个神经元的输出层o₁。

隐藏层是夹在输入输入层和输出层之间的部分，一个神经网络可以有多个隐藏层。

把神经元的输入向前传递获得输出的过程称为前馈（feedforward）。

我们假设上面的网络里所有神经元都具有相同的权重w=[0,1]和偏置b=0，激活函数都是sigmoid，那么我们会得到什么输出呢？

h₁=h₂=f(w?x+b)=f((0×2)+(1×3)+0)

=f(3)

=0.9526

o₁=f(w?[h₁,h₂]+b)=f((0?h₁)+(1?h₂)+0)

=f(0.9526)

=0.7216

以下是实现代码：

import numpy as np
# ... code from previous section here
class OurNeuralNetwork:
 '''
 A neural network with:
 - 2 inputs
 - a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
 - an output layer with 1 neuron (o1)
 Each neuron has the same weights and bias:
 - w = [0, 1]
 - b = 0
 '''
 def __init__(self):
 weights = np.array([0, 1])
 bias = 0
 # The Neuron class here is from the previous section
 self.h1 = Neuron(weights, bias)
 self.h2 = Neuron(weights, bias)
 self.o1 = Neuron(weights, bias)
 def feedforward(self, x):
 out_h1 = self.h1.feedforward(x)
 out_h2 = self.h2.feedforward(x)
 # The inputs for o1 are the outputs from h1 and h2
 out_o1 = self.o1.feedforward(np.array([out_h1, out_h2]))
 return out_o1
network = OurNeuralNetwork()
x = np.array([2, 3])
print(network.feedforward(x)) # 0.7216325609518421

训练神经网络

现在我们已经学会了如何搭建神经网络，现在我们来学习如何训练它，其实这就是一个优化的过程。

假设有一个数据集，包含4个人的身高、体重和性别：

现在我们的目标是训练一个网络，根据体重和身高来推测某人的性别。

为了简便起见，我们将每个人的身高、体重减去一个固定数值，把性别男定义为1、性别女定义为0。

在训练神经网络之前，我们需要有一个标准定义它到底好不好，以便我们进行改进，这就是损失（loss）。

比如用均方误差（MSE）来定义损失：

n是样本的数量，在上面的数据集中是4；

y代表人的性别，男性是1，女性是0；

y_true是变量的真实值，y_pred是变量的预测值。

顾名思义，均方误差就是所有数据方差的平均值，我们不妨就把它定义为损失函数。预测结果越好，损失就越低，训练神经网络就是将损失最小化。

如果上面网络的输出一直是0，也就是预测所有人都是男性，那么损失是：

MSE= 1/4 (1+0+0+1)= 0.5

计算损失函数的代码如下：

import numpy as np
def mse_loss(y_true, y_pred):
 # y_true and y_pred are numpy arrays of the same length.
 return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()
y_true = np.array([1, 0, 0, 1])
y_pred = np.array([0, 0, 0, 0])
print(mse_loss(y_true, y_pred)) # 0.5

减少神经网络损失

这个神经网络不够好，还要不断优化，尽量减少损失。我们知道，改变网络的权重和偏置可以影响预测值，但我们应该怎么做呢？

为了简单起见，我们把数据集缩减到只包含Alice一个人的数据。于是损失函数就剩下Alice一个人的方差：

预测值是由一系列网络权重和偏置计算出来的：

所以损失函数实际上是包含多个权重、偏置的多元函数：

（注意！前方高能！需要你有一些基本的多元函数微分知识，比如偏导数、链式求导法则。）

如果调整一下w₁，损失函数是会变大还是变小？我们需要知道偏导数?L/?w₁是正是负才能回答这个问题。

根据链式求导法则：

而L=(1-y_pred)²，可以求得第一项偏导数：

接下来我们要想办法获得y_pred和w₁的关系，我们已经知道神经元h₁、h₂和o₁的数学运算规则：

实际上只有神经元h₁中包含权重w₁，所以我们再次运用链式求导法则：

然后求?h₁/?w₁

我们在上面的计算中遇到了2次激活函数sigmoid的导数f′(x)，sigmoid函数的导数很容易求得：

总的链式求导公式：

这种向后计算偏导数的系统称为反向传播（backpropagation）。

上面的数学符号太多，下面我们带入实际数值来计算一下。h₁、h₂和o₁

h₁=f(x_1?w₁+x₂?w_2+b1)=0.0474

h₂=f(w₃?x₃+w₄?x₄+b₂)=0.0474

o₁=f(w₅?h₁+w₆?h₂+b₃)=f(0.0474+0.0474+0)=f(0.0948)=0.524

神经网络的输出y=0.524，没有显示出强烈的是男（1）是女（0）的证据。现在的预测效果还很不好。

我们再计算一下当前网络的偏导数?L/?w₁：

这个结果告诉我们：如果增大w₁，损失函数L会有一个非常小的增长。

随机梯度下降

下面将使用一种称为随机梯度下降（SGD）的优化算法，来训练网络。

经过前面的运算，我们已经有了训练神经网络所有数据。但是该如何操作？SGD定义了改变权重和偏置的方法：

η是一个常数，称为学习率（learning rate），它决定了我们训练网络速率的快慢。将w₁减去η·?L/?w₁，就等到了新的权重w₁。

当?L/?w₁是正数时，w₁会变小；当?L/?w₁是负数 时，w₁会变大。

如果我们用这种方法去逐步改变网络的权重w和偏置b，损失函数会缓慢地降低，从而改进我们的神经网络。

训练流程如下：

1、从数据集中选择一个样本；

2、计算损失函数对所有权重和偏置的偏导数；

3、使用更新公式更新每个权重和偏置；

4、回到第1步。

我们用Python代码实现这个过程：

import numpy as np
def sigmoid(x):
 # Sigmoid activation function: f(x) = 1 / (1 + e^(-x))
 return 1 / (1 + np.exp(-x))
def deriv_sigmoid(x):
 # Derivative of sigmoid: f'(x) = f(x) * (1 - f(x))
 fx = sigmoid(x)
 return fx * (1 - fx)
def mse_loss(y_true, y_pred):
 # y_true and y_pred are numpy arrays of the same length.
 return ((y_true - y_pred) ** 2).mean()
class OurNeuralNetwork:
 '''
 A neural network with:
 - 2 inputs
 - a hidden layer with 2 neurons (h1, h2)
 - an output layer with 1 neuron (o1)
 *** DISCLAIMER ***:
 The code below is intended to be simple and educational, NOT optimal.
 Real neural net code looks nothing like this. DO NOT use this code.
 Instead, read/run it to understand how this specific network works.
 '''
 def __init__(self):
 # Weights
 self.w1 = np.random.normal()
 self.w2 = np.random.normal()
 self.w3 = np.random.normal()
 self.w4 = np.random.normal()
 self.w5 = np.random.normal()
 self.w6 = np.random.normal()
 # Biases
 self.b1 = np.random.normal()
 self.b2 = np.random.normal()
 self.b3 = np.random.normal()
 def feedforward(self, x):
 # x is a numpy array with 2 elements.
 h1 = sigmoid(self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1)
 h2 = sigmoid(self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2)
 o1 = sigmoid(self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3)
 return o1
 def train(self, data, all_y_trues):
 '''
 - data is a (n x 2) numpy array, n = # of samples in the dataset.
 - all_y_trues is a numpy array with n elements.
 Elements in all_y_trues correspond to those in data.
 '''
 learn_rate = 0.1
 epochs = 1000 # number of times to loop through the entire dataset
 for epoch in range(epochs):
 for x, y_true in zip(data, all_y_trues):
 # --- Do a feedforward (we'll need these values later)
 sum_h1 = self.w1 * x[0] + self.w2 * x[1] + self.b1
 h1 = sigmoid(sum_h1)
 sum_h2 = self.w3 * x[0] + self.w4 * x[1] + self.b2
 h2 = sigmoid(sum_h2)
 sum_o1 = self.w5 * h1 + self.w6 * h2 + self.b3
 o1 = sigmoid(sum_o1)
 y_pred = o1
 # --- Calculate partial derivatives.
 # --- Naming: d_L_d_w1 represents "partial L / partial w1"
 d_L_d_ypred = -2 * (y_true - y_pred)
 # Neuron o1
 d_ypred_d_w5 = h1 * deriv_sigmoid(sum_o1)
 d_ypred_d_w6 = h2 * deriv_sigmoid(sum_o1)
 d_ypred_d_b3 = deriv_sigmoid(sum_o1)
 d_ypred_d_h1 = self.w5 * deriv_sigmoid(sum_o1)
 d_ypred_d_h2 = self.w6 * deriv_sigmoid(sum_o1)
 # Neuron h1
 d_h1_d_w1 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h1)
 d_h1_d_w2 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h1)
 d_h1_d_b1 = deriv_sigmoid(sum_h1)
 # Neuron h2
 d_h2_d_w3 = x[0] * deriv_sigmoid(sum_h2)
 d_h2_d_w4 = x[1] * deriv_sigmoid(sum_h2)
 d_h2_d_b2 = deriv_sigmoid(sum_h2)
 # --- Update weights and biases
 # Neuron h1
 self.w1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w1
 self.w2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_w2
 self.b1 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h1 * d_h1_d_b1
 # Neuron h2
 self.w3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w3
 self.w4 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_w4
 self.b2 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_h2 * d_h2_d_b2
 # Neuron o1
 self.w5 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w5
 self.w6 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_w6
 self.b3 -= learn_rate * d_L_d_ypred * d_ypred_d_b3
 # --- Calculate total loss at the end of each epoch
 if epoch % 10 == 0:
 y_preds = np.apply_along_axis(self.feedforward, 1, data)
 loss = mse_loss(all_y_trues, y_preds)
 print("Epoch %d loss: %.3f" % (epoch, loss))
# Define dataset
data = np.array([
 [-2, -1], # Alice
 [25, 6], # Bob
 [17, 4], # Charlie
 [-15, -6], # Diana
])
all_y_trues = np.array([
 1, # Alice
 0, # Bob
 0, # Charlie
 1, # Diana
])
# Train our neural network!
network = OurNeuralNetwork()
network.train(data, all_y_trues)

随着学习过程的进行，损失函数逐渐减小。

现在我们可以用它来推测出每个人的性别了：

# Make some predictions
emily = np.array([-7, -3]) # 128 pounds, 63 inches
frank = np.array([20, 2]) # 155 pounds, 68 inches
print("Emily: %.3f" % network.feedforward(emily)) # 0.951 - F
print("Frank: %.3f" % network.feedforward(frank)) # 0.039 - M

更多

这篇教程只是万里长征第一步，后面还有很多知识需要学习：

1、用更大更好的机器学习库搭建神经网络，如Tensorflow、Keras、PyTorch

2、在浏览器中的直观理解神经网络：https://playground.tensorflow.org/

3、学习sigmoid以外的其他激活函数：https://keras.io/activations/

4、学习SGD以外的其他优化器：https://keras.io/optimizers/

5、学习卷积神经网络（CNN）

6、学习递归神经网络（RNN）

这些都是Victor给自己挖的“坑”。他表示自己未来“可能”会写这些主题内容，希望他能陆续把这些坑填完。如果你想入门神经网络，不妨去订阅他的博客。

关于这位小哥

Victor Zhou是普林斯顿2019级CS毕业生，已经拿到Facebook软件工程师的offer，今年8月入职。他曾经做过JS编译器，还做过两款页游，一个仇恨攻击言论的识别库。

最后附上小哥的博客链接：

https://victorzhou.com/

— 完 —

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